二章、五個量建構的世界

這一節只教一到五的加法，因為在上一節中，小朋友只教了一到五的概念，所以須將「和」限制在五之內（下面表格中的灰色部分）。第一列與第一行之所以涂上不同的顏色，是為了配合古氏積木做聯想。

準備：發給小朋友一到五的積木各一根，然后再加發一和二的積木各一根。

甲、被加數是一，加數是二、三、四

動作①

教師拿出兩個白色積木，把二者接在一起，口中念道：「一加一等于二」，或者「一和一造成三」。然后拿起紅色積木排在二者下方，如圖：

動作②

教師拿出白色和紅色的積木，把二者接在一起，口中念道：「一加二等于三」，或者「一和二是三」。然后拿出綠色積木緊排在二者下方，如圖：

教師可以讓小朋友把這個圖形用手捧起來，展示給所有人看。因為小朋友喜歡在學習活動中伸展肢體。再者，如果沒有運用技巧，專注程度不夠的話，根本無法從桌面上拿起這個圖形。

動作③

教師要小朋友按照上圖排出，再念一加三等于四，又排出一圖：

動作④

教師念：「一加四等于五」，排出下圖：

上面的四個動作整合如下：

乙：被加數是二，加數是一、二、三

被加數是二的三個積木圖，整理如下：

丙、被加數是三

丁、被加數是四

動作⑩：四加一等于五。

以上十個動作整合如下

當小朋友只學到一至五的概念時，是否超過五的和就不能算？不！

*積木操作法

分解成兩段，即求和超過五的部分。譬如二加四，不說等于六，而說五加一。積木操作法如下：

*第二個積木操作法：制作5×5的的二十五格板

仿效10×10的「百格板」制作出一個5×5的板子，要小朋友將積木排列在「二十五格」板上（如下圖）。

細心的讀者將會發現，在這個地方，小朋友必須發展兩個概念。

一、被加數（第一根積木）需要多少才能湊成五，即加數（第二根積木）要怎么分解。

二、加數分解之后還剩多少。

這兩個概念并不需要老師怎么教，只要擺出第一個積木圖，小朋友自然而然會發現方法，擺出其它的積木圖。

天才教學法的一大特征是少用言語，多用圖形來刺激小朋友的推理能力。因此，教師會設計各式各樣的活動，但不告訴小朋友活動怎么進行，最多只進行第一步驟，只要看小朋友是否能自動其它步驟，就知道這個活動的設計是否成功，　第一步驟是否指導明確。

二十五格板的教學原理，事實上基于五進位，五進位比十進位簡單，對小朋友來說，更容易理解和掌握，如果我們把十進位改成五進位，整個數系會更明朗化。換另一個角度來看，十進位也是五進位的變形，因為它是兩個五進位合成的，會五進位，就會十進位，五進位是十進位的前身，也可視為十進位的暖身動作。

*數字越長越好加、兩個數字最難加

最難的圖形在上面已經出現過了，總共就三個而已。不信，請看下面的題目　數字越多越好加，這跟一般人認為數字越長串，越令人頭痛，越容易出錯的迷信是相反的。

1+2+3+4+4+3+2+1＝5×4（四個五）

在小朋友還沒有學到六這個數字前，我們要換另一種方式來問「總和」：等于幾個五，還剩多少。1+2+3+4+4+3+2+1等于四個五，完全沒剩。

無論題目出得多長串，總是可以找到湊成五的數組，不信，請隨便出一題。

1+3+4+2+4+3+3+1+5＝（1+4）＋（3+2）＋（2+3）＋（4+1）＋（5）＋3+3

不能湊成五的只有最后的3+3，但是這個圖形又回到我上面說的三大難題之一。

加法里，最困難的是那三大圖形：2+4, 3+3, 3+4。除了這三個難題，沒有別的難處，真的沒有了！即使是在十進位，也是一樣的。

例如，7+9=5+2+5+4=5×2+2+4

*人不可能知道七加三等于十

或許有人會說，他是用七加三等于十，從九中拿走三等于六，所以造成十六。這個算法沒錯，但它是機械訓練之下的成品，因為我們不可能知道七加三等于十，我們真正的概念是二加三等于五。這句話很令人難以置信，一定會有人想跳起來抗議：「我怎么可能不知道七加三等于十。七，再來八九十，這不是三個數字嗎？所以七加三等于十?！?BR>

直觀式數學的思維模式，不是直線，是全面、全方位進行的，一個人看到一個畫面是看到整個畫面，不是先看到一部分，再看到另一部分。不信的話，請選擇一個畫面看，然后問自己，哪一個單項先看到，哪一個單項后看到。即使這個畫面很大，您還是一秒鐘就掃視了一大部分。

再回來談人為什么知道七加三是十？

因為它看到七的旁邊有三個空位，如圖。

更精確的說，他根本沒有看到七，他看到的是五、二、三。

心理學已經證實，人對超過七的東西是沒興趣的，因為它超過了人類的感官極限。超過七的點，我們沒有辦法不經過數算，就辨認出來。

積木操作法為什么厲害？因為它化繁為簡，它把5+2+3變成三個單項：黃、紅、綠。

假設現在有一個人丟出超過七的幾個物件，要我們在最短的時間內算出有多少個？數數看，是最糟糕的方式，時間長，又容易心慌意亂數錯。最好的方式是分組算，把這幾個亂七八糟擺放的物件，按照地理位置最近彼此的方式分組，很快我們就會說：「喔！五、八、四、六等于二十三?！乖谟洃浀拇Y里，二十三樣東西變成了只有四樣。

再來，我要舉一個聞名的例子來說明直觀和降低物件的項目。

例如：12×12。

即是是沒有學過乘法，或者受過加減法訓練的小朋友，都會很快回答一百四十四？

請思索下列問題：

一、他是先看到黃色，還是先看到橘色，還是紅色？
答案：他一次全部看到。

二、他需要去做乘的計算動作，或者加的動作嗎？
答案：他兩者都不需要。他瞬間就了解答案是多少，只是依照人類的線性語言習慣，他先念有幾個百，再念有幾個十，最后是幾個一。

人類的語言是線性的，人類的動作是線性的，總是有哪個前，哪個后之分，而且一次只能一樣。但人類的思考不是線性的，它是全面的，全方位的，甚至是跳躍性的。因此我們會說出：「我不知道我為什么會這樣」，或者「我不知道我是怎么理解這件事情的，但我就是忽然領悟了」。

我們說不出道理而又知道的事情，代表我們的思想跳躍了。

直觀式數學為何可以稱之為天才教育法，其理在此，它是真正配合人類的大腦型態的，它本身就是人類的思考模式。

而符號式數學，它是線性的，需要經過后天的訓練、后天的社會化過程，才有可能學會，因此它的學習毋寧說是緩慢的。

許多人接受了符號數學后，不習慣用圖像思考，這是因為已經被后天的環境訓練成制約反應了，并不是說他天生就是這樣的。但無論如何，直觀是人類的本能，只要稍加練習，這種能力還是會再現的。

*被減數為五

上文談到的是「加法」，那么「減法」要怎么進行呢？事實上，減法就已經包括在加法的原理當中了?，F在來進行減法，請看下表，共有五個動作：

動作一：

教師念：「五減一等于四」，把白色積木置放于黃色積木的上方，數空位：「一、二、三、四」，答案是四。

教師也可以用口語說：「一排五的積木，蓋上一格，請問還剩下幾格？」

動作二：

減法就是數空位的動作。教師念：「五減二等于三」，把紅色積木至置放于黃色積木上方，數空位一二三，答案等于三。

動作三：

教師念：「五減三等于二」，把綠色積木至置放于黃色積木上方，數空位一二，答案等于二。

動作四：

教師念：「五減四等于一」，把紫色積木至置放于黃色積木上方，數空位一，答案等于一。

動作五：

教師念：「五減五等于零」。把黃色積木置放于黃色積木上方，沒有空位，答案等于零。

被減數是五已經進行過了，接下去要進行被減數是四、三、二、一。仿照上面程序，減至不能再減。請自己對照表格，看看哪一部分還沒有做。列表是一個非常好的方法，教師和學生都能夠看出自己遺漏了什么。天才數學教育法有兩個法寶：一操作圖像，二列表。前者將會發展成幾何概念，后者會演變成排列組合。

如果有小朋友還是數不出空位，教師可以要她在空格上加積木。教師可以這樣問小朋友：「這個空格要加上什么顏色的積木」。大部分的小朋友都可以僅憑視覺，就說出顏色。

在上一節中，被加數和加數固定，和不固定；到了這一節倒過來，和固定，是已知條件，求滿足此和的被加數和加數有多少組。這樣一來，答案不只一組，但是答案要限定在「自然數」的范圍內。

所謂自然數，就是計物數，也就是數算人頭的數，是人類在最初時對數算和記錄物件的努力。而兒童的數學思想發展過程，在很多情況下會和先民的數學思想史不謀而合。

這個題目，如果以純粹的數學符號語言來寫：

1.X+Y=C，
2.X,Y,C屬于N
3.當C=1，X=?Y=?
4.當C=2, X=?Y=?
5.當C=3，X=?Y=?
6.當C=4, X=?Y=?
7.當C=5，X=?Y=?

1.是固定不變的條件，也就是這個題目設定的前提。

2.限定題目的范圍在自然數上。當然這個限定可以改變，可以把自然數改為其他大范圍的數，例如整數、實數等。但是這樣一來，X和Y的解的個數學就會變成無限多，變成要在實數系座標上畫線，才能表達。但是別忘了，我們這個課程的對象是三歲和三歲以上的小朋友。雖然當小朋友進行到分數或小數的概念時，他立刻會警覺到答案的范圍變大，其實是有無限多種的組合答案，但是在這里，我們仍然要將范圍限定在一個安全范圍內，便利他探索。當然，我們也在期盼有一天，他的另一種覺知會到來，也就是他的觀念伸展開來，沖破自然數的限制。這一天就是該教代數和座標的時刻。

天才教育法的老師知道小朋友的前面道路會發生什么事，他早就準備好了，伸出手在那里等候他，所以現階段的任何課程的安排都是刻意的，不是突發的，因為它是一種鋪路課程。

3到7的C是常數。這個常數可以轉變，當常數轉變時，答案的范圍便會擴大。如果我們有座標軸上的二元一次方程式概念，便會看到線段在第一象限上不斷擴大，而當中的自然數點組就是答案。

不記得是哪一位思想加說過，任何高深的理論都有辦法以誠實的形式化為簡單質樸的樣貌，而這這種轉化的過程就是天才教育課程的設計目標。讓我們來看看上面的理論體系如何轉化為下面的仿如游戲般的活動。

天才教育并不希望兒童或教師吃到任何苦頭，所以大部分的課程都會以游戲和活動的面貌呈現。

*當「和」為二、三、四時

甲、二的自然數組成

教師可以這樣問：「多少加多少等于二？」

用淺白的話說就是：「隨意挑兩根積木造成紅色二，問這兩根積木是什么顏色、什么數字？」

或許有人甚至會認為這種積木排列活動對小朋友過于簡單，因為幾乎把分之百的小朋友都會答對。這是我們的目的沒錯，一開始，我們一定要簡單到讓小朋友答對，然后再加深難度。為何小朋友都會答對呢？因為他會看積木上的格子。所以如果教師要加深難度的話，可以改換一種沒有刻度的積木。但是這個動作務必要等到小朋友熟悉有格子的積木后。

乙、三的自然數組成

再來，數字增大，變成三。

教師問：「用兩根積木造成綠色的三，這兩根積木是什么顏色？」
學生答：「白色和紅色」。

教師問：「可不可以把紅色排在前面？」
學生答：「可以?！?BR>
學生在無形當中學到加法中的「交換律」。
教師要學生排出如下圖形：

丙、四的自然數組成

教師問：「多少和多少造成四？」或者問：「用兩根積木連成四，這兩根基木是什么顏色：」
學生答：「白色和綠色?！箤W生也可能這樣回答：「紅色和紅色」。

教師說：「這兩種答案都對。白色和綠色可不可以交換排？」
學生答：「可以?！?BR>
教師再問：「紅色和紅色可不可以換位置？」
學生答：「可以?！?BR>
教師問：「紅色交換位置后，看起來有沒有什么不同？」
學生答：「沒有?！?BR>
教師引導學生排出如下圖形。

凡是偶數的組成都會需要兩塊同色積木：如果是六，就會需要兩塊三的積木；如果是八，就需要兩塊四的積木；如果是十，就需要兩塊五的積木。

現在到了五的組成，教師問小朋友：「多少和多少造成五？」

舉出越多種答案的小朋友，其思考越細密，小朋友的天資就在這里顯現了。

上圖共有「四種」排列法，「兩種」組合法。

兩種組合一和四，二和三交換位置，變成四種排列法。

排列和組合不同，排列要計較位置，組合只管成分。12和21在排列上不同，在組合上一樣。排列則要計較順序。第一天，早上吃橘子，下午吃香蕉；第二天，早上吃香蕉，下午吃橘子，在排列（順序）上不一樣，而組合（成分）則視為相同。

千萬不要小看五的組成這個圖形，應該把它牢記在心。不止在以后的加法要用到，而且它已經有令高中生和大學生聞名喪膽的排列組合和數論的味道了。

請思考以下問題：

1.為什么用兩個數字組成五，共有四種排列、兩種組合？
2. 如果推得出道理，那么用兩個數字組成六，有幾種排列，幾種組合呢？
3. 用兩個數字組成六十呢？
4. 如果是用三個數字呢？
5.如果是用四個或五個數字呢？

這當中定然有公式，只要用積木排一排，當會發現定理的。不要以為小朋友不會發現定理，只要他對這個題目留下深刻的印象，他就算今年不發現，明年也會發現的；如果他明年不發現，后年遲早給他發現。而這種題目并不簡單，它是高中生或大學生的題目，無論小朋友是今年發現、明年發現、或者后年發現，都不算太晚。

推演公式、發現公式、建構公式的能力，正是我們在數學天才教育法中所要發展的。因此，不要怕給小朋友難度高的題目，這不會挫折到他，反而會在他心中留下一個謎，等時機成熟他自然會把這個謎解開。小朋友的好奇心和猜謎的動機遠比成人強烈得多。

*當「和」為五時

用一、二、三、四、五根積木組成五

上面的題目是用兩根積木，也可以用三根、四根、乃至于五根，可以把題目出到積木的根數等于數字之合。由于到目前為止，我們只介紹了五根積木，所以必須限制在五的范圍以內。

給小朋友難題，須注意一點，就是這個題目的意義必須是他能了解的。對小朋友來說，問題往往出在不了解語言，而不是不了解數學。所以我們要把題目轉換成他所了解的語言。請比較以下幾種語言：

任意用積木來排成五，請問有幾種排列法？可以用一根積木、兩根積木、三根積木、四根積木、乃至于五根。

用任意「自然數」構成五，有幾種構成法？

X+Y=C，X,Y,C屬于N和零。當C的值各為1,2,3,4時，X,Y值若干？

第一種語言是小朋友能夠聽懂的，第二種和第三種語言是國小高年級或國中生才懂的，但是實這三題是一模一樣的問題。由此可知，只要將題目的語言轉變以下，即使是很小的小朋友也都是會懂的。所以，回到一個結論，不懂數學的根本原因出在語言，而不是出在數學。天才教育的課程設計工作就是「翻譯」語言－－想盡辦法翻譯成「兒童國」的語言。

在這里，我們還可以發現一個道理，其實數學的真貌就是那些，但是一經翻譯，就會有許多題目出現－－所有各種不同的題目都是一種翻譯！這就是為何數學公式只有幾條，但是題目卻多到做不完的真正原因。

*五的16種排列組合及解法

上面的積木圖簡單嗎？不簡單，很容易就漏掉幾個圖形。解決之道是把積木圖形擺在家中，就像組合樂高玩具一樣，一天排出一部分就好。如果還嫌這個題目太簡單，可以挑戰十的排列組合。

不要急著一天解出，腦筋會燒壞的！腦力就像體力一樣，有用盡的時候，因此只要像蓋房子一樣，一天蓋一部分就夠了。這就是為什么我強調小朋友要有個人專用的古氏積木，而不是在教室里玩玩就夠了。

解真正的數學題目是一種跑「馬拉松」的過程。這種題目絕對不是考試中那種一小時算三十題甚至一百二十題的淺薄題目可比擬。一個花三秒鐘就可以解出來的題目，沒什么意思，真正的好題目要花好幾個月來解。但是這種馬拉松題目允許人吃飯、睡覺，等到有心情時再來解。馬拉松的題目才是「正宗」數學題目，從解這種題目中，小朋友可以提早體會當數學家的廢寢忘食滋味。

培養小朋友推演公式的能力要漸進，不要急躁，到目前為止，我們只給了小朋友五根積木，介紹了一到五的概念而已，請不要興奮到開始教起排列組合的理論來。有些教師或家長甚至興奮到丟下小朋友，自己一個人研究數學去了。

再回來談五的組成，它顯示了一個美麗的圖形，乍看之下，有某種規律存在。如果不說題目，先以圖形示人，把中間空掉幾行（如下圖），相信許多人也會有辦法把空格著上正確顏色。原因在于它有一種憑直覺就可以發現的規律。當人類把這種直覺整理過后，歸納出當中的道理，就成為數學。有經驗的教師知道如何抓住學生一閃即逝的直覺，并把它變成數學。

當教師或家長發現「五的組成」對小朋友不再是難事，小朋友在幾分鐘之內，就很輕松地排出時，那么可以試試「六的組成」、「七的組成」，直到「十的組成」。

在這里，有一個問題產生了！難道每次都要排積木才能發現共有幾種排列組合？如果是一百的組成，總不能還是用積木排列的方式吧？有沒有規律可循？有！這就要推演公式。但是推演公式的工作應該留給學生去完成，這才是啟發之道，教師不應越俎代庖，去替學生完成。不管學生要花幾個月，甚至幾年，這個工作都應該留給學生去做，反正他年紀還小，有充分的時間慢慢想，想好幾年也沒關系。這就是右兒的天才數學教育法優越的地方，小朋友有很多的時間讓數學的種子慢慢發芽。若是換了已經上高中的學生，教師沒有辦法等待，當學生推演不出公式的時候，教師只有用「灌」的，以免耽誤課程進度。由此，我們可以看出天才教育法是何等的重要了，它不是揠苗助長，相反的，它是給小朋友機會，給小朋友充分的時間讓種子發芽。天才教育法是播種子的教育法，所有的課程都是在播種，而不是催收果實。但是由于這個教法培養了小朋友獨立思考數學和解題的能力，在很多時候，果實來得很快，甚至讓教師措手不及。甚至在很多時候，教師和家長會生出一種感覺：「我的小朋友失控了，我不知道他的腦袋發展到什么地步了，我真不知道該怎么指導他了，我會不會是不夠聰明、不夠資格來教導他？」

天才教育法，不僅能夠培養學生的數學思維能力，也同樣能夠發展指導者的思考和教學能力。只要指導者跟著每一個教學步驟，跟著小朋友亦步亦趨，就不會有失去方向，不知如何進行下一步驟的感覺。天才教育既有辦法教小朋友，難道沒有辦法教大人嗎？雖然小朋友很可能進步得比大人快，原因出在于他永遠比大人專注，記憶力比大人好。也許他只玩了五分鐘，大人玩了五十分鐘，但是他的印象卻是牢不可破，維持終身的，這一點只要想想看我們還記得很多小時候的事就可以證明了。

請想想看：幼兒只要認識五根積木，就可建構出如此神奇美麗的圖形，就已經在腦里播下排列組合的種子，開花結果是指日可待的事情。為什么大人不用天才教學法，給自己一個機會，給小朋友無限的機會。想想看，如此優越的學習法不用，卻要坐等小朋友升上小學高年級、國中、高中，然后眼睜睜地看他討厭數學、畏懼數學、最后放棄數學？

每一個小朋友都是天生的天才，差別只在于他是否被提供機會成為天才？如果我們在今天就提供他未雨綢繆的課程，那么他將來的前途是無可限量的。

希望讀者讀到這兒，開始體會一點天才數學教育的手法。簡而言之，就是把日后要學的高深理論包藏在今日的簡單學習活動中。而這些方法在坊間的教科書和參考書中是見不到的。但是讀者們若學了我的數學課程設計理論，就可以自己設計出天才數學教學法來。

有很多人問我為何不從頭到尾設計出一系列課程來，好讓大家可以如法炮制。誠然我可以盡最大的努力嘗試，但在這里要提醒讀者一事：當學生不一樣時，每一次授課的深度將會不同；當學生的興趣不同時，每一次的「廣度」也會有些不同，廣度就是教師所舉的例子和應用。天才教育和普通教育最大的不同是，天才教育是「量身訂作」，而不是「照章上課」。即使教師事先把課程的內容準備到百分之百完美的地步，也會因為學生的課堂反應而修改。若要量身訂做，教師非要有一些課程設計的功力不可，而且要到臨場就能設計的水準。

最好是把圖形制成大型海報或者掛圖，懸在「醒目」的地方。小朋友的觀察力非常敏銳，耳濡目染的結果，無形中就會把加法甚至減法的原理印在心中。

一圖勝千言，教師說得口乾舌燥，還不如一張掛圖。因此，請勿以為制作掛圖的力氣會浪費掉，它可以節省很多唇舌和教學上的挫折感。教師少說一點話，能保護自己的喉嚨；學生多用一點眼睛，能提高自己的心智能力。

面對老是吵嚷不停的學生，也許每一天、每一節課，都要練習一段時間的靜默。這段時間可以讓學生靜聽音樂。

海報和掛圖是情境教學的一部分，請另尋專書研究。

*1~5的總和：無缺口的積木圖

求一長串數字的總和，雖然是算術的家常便飯，但也是使許多學童頭痛的問題。原因出在傳統的加法，總是按照順序，從第一個加到最后一個。在積木的加法中，則可以變換順序，盡量組成矩形或類矩形，如此則很容易看出答案。

例如：1+2+3+4，如果小朋友已經熟悉五的組成，那么她將自然而然排出下列圖形：

0 && image.height>0){if(image.width>=510){this.width=510;this.height=image.height*510/image.width;}}">

如果是添加一個五，1+2+3+4＋5，則如下圖：

在這里，由于小朋友還沒教超過五的量的概念，所以不求總和，只要她們排出矩形積木圖就可以了。

如果小朋友不知道矩形是什么，教師可以告訴她排成沒有缺口的圖形。
看吧！這就是我所謂的機械化訓練之下的產品，因為它是用數數看（count）的方式。真正的算術，不用數算，它用直觀（visualization）。直觀就是一秒鐘看到，同一秒鐘了解，看和了解同時進行，沒有哪個前，哪個后之分。而數數看，需要步驟，不管它數得多快，它都需要步驟，不能跳躍，因為它是直線進行的，就像2004年都還沒過完，為什么就想過2006年？